楊維哲教授《基礎平面幾何》關係三角形「合同」三定理（「合同」意思也就是阮當年所學著个「全等」，楊教授佮意用「合同」个講法，較倚英文 congruence，可能也較倚希臘原文？），楊教授並無好好仔證明，干焦用「註」簡單講：
雖然合同的定義要求：角度與長度的總共 6 個，都必須對應相等，但是由我們的作圖法，就知道有三個合同原理！此即 sas，asa，sss。（p.58 ff.）
講了伊就直接將即三條列做免證自明个原理矣。
我無啥認同按呢个處理法，應該著照起工來證明才好，無應該按呢就準過。我感覺 SAS 是三合同原理當中上蓋根本个，用「相疊[sio-tha̍h]作圖法」（以下簡稱「疊圖法」）會使得「說明」予儂「接受」（可能無一定會使「證明」予儂「相信」），了後 ASA 佮 SSS 攏著有一个較完整个證明才著。看 Euclid《幾何原本》，真歡喜發現聖人就是按呢做！
幾何原本 Book I, Proposition 4（以下簡稱法是 I.P.4）就是用疊圖法證明 SAS。
I.P.5 是咧證「等腰三角形个兩底角平大」，I.P.6 是逆命題「兩底角平大个三角形就是等腰三角形」。
I.P.7 是《原本》冊--裡真奇妙个基本定理，較僫得用文字說明，是咧證明「等長底邊無可能做出兩組兩邊各自平長个交線」。
I.P.8 就是證明 SSS，證明過程 Euclid 用著疊圖法佮頂段所講个 I.P.7。I.P.7 閣用著 I.P.5。I.P.5 閣用著 I.P.4 SAS 定理。
到甲 I.P.26 才出現 ASA/AAS 定理，證明過程也是建立佇 I.P.4 SAS 頂頭。
通講 SAS 是三角形合同定理个地基，按呢建立起來个幾何智識系統毋才有一个範[pān]！
吳秉翰、吳作樂兩先生《什麼是數學？》p.213「全等性質為什麼全等」小節第一段寫：
從希臘時期到現在都是用做圖技巧再剪下，並驗證是否重疊，若重疊即被認定是全等的性質，也就是用真實世界的物理方法來驗證數學。但對作者來說除了 SSS 全等性質外，其他性質相當的不直覺。
但是我所看著个幾何原本英文譯本所寫，三角形合同定理當中，除了 SAS 勉強會使得講是「用真實世界的物理方法來驗證數學」，其他个並毋是按呢。事實上，SAS 个證明過程用著抽象理性，會使完全佇頭腦內進行，佮物質、物理實驗層次無仝。
$\displaystyle \mathbf{SAS}$三角形全等定理： \begin{gather*} \triangle ABC佮\triangle DEF,\ | \overline{AB}| =| \overline{DE}| ,\ | \overline{AC}| =| \overline{DF}| ,\ | \angle A| =| \angle D| ,\\ 則\triangle ABC\cong \triangle DEF. \end{gather*}
If the triangle ABC is superposed on the triangle DEF, and if the point A is placed on the point D and the straight line AB on DE, then the point B also coincides with E, because AB equals DE.
Again, AB coinciding with DE, the straight line AC also coincides with DF, because the angle BAC equals the angle EDF. Hence the point C also coincides with the point F, because AC again equals DF.
But B also coincides with E, hence the base BC coincides with the base EF and equals it.
Thus the whole triangle ABC coincides with the whole triangle DEF and equals it.
And the remaining angles also coincide with the remaining angles and equal them, the angle ABC equals the angle DEF, and the angle ACB equals the angle DFE.
以上个證明論述，有一个重要精神，就是相信「徛佇仝一个起點，轉仝款角度（向仝款方向）、行仝款距離，結局就會行到仝一終點」。這也是後世數學「極座標」系統靠角度佮距離兩个參數來定位座標，上蓋基本个假定，也是生活中不時拄會著个經驗。
《什麼是數學？》p.214閣有講：
作者本身教學經驗，學生對於五個全等性質並不能完全認同，大多數人僅能接受 SSS 全等。而其他的在直覺上是完全無法接受的，而重疊的方法又使人認為不夠嚴謹，如果在不能完全認同的情況下，後續的練習幾何證明僅僅是建立在空中的樓閣，學生只是學會書寫兩三角形為什麼全等的證明流程，並不明白為什麼該性質全等？
作者个解決方法是：將 SSS 直接定義做公設，其他个全等定理才用即个公設去推衍[tshui-ián]。
這是佇歐氏幾何五大公設下底，閣生出一條公設，我感覺真心適，因為我佮幾何原本拄好有相通，感覺 SAS 較基本，也較直覺，但是吳老師佮怹多數學生煞認為 SSS 較直覺，不證自明。我真好奇：是按怎兩个三角形三條相應線平長，咱就會使放心相信三个相應角也攏會仝款咧？欲按怎直覺、相信講袂出現別種角度个組合咧？這咁無需要進一步說明甚至是證明？
欲增加一个公設，我寧可採用我頭前所講个：「徛佇仝一个起點，向仝款方向、行仝款距離，結局就會行到仝一終點」。
Comments powered by Disqus.