三角形外心、重心、垂心座標佮直線方程式

任意三角形攏是：三內角平分線交於一點（內心）、三中垂線交於一點（外心）、三中線交於一點（重心）、三垂線交於一點（垂心）、一內角平分線佮兩外角平分線交於一點（旁心）。這攏會使得用歐氏幾何來證明，也會使得用解析幾何來證明。

我家己用解析幾何法驗證過外心 $\displaystyle O$、重心 $\displaystyle G$、垂心 $\displaystyle H$ 攏有三線仝點个事實。將三角形三頂點的座標設做 $\displaystyle ( 0,0) ,\ ( 2c,\ 0) ,\ ( 2a,\ 2b)$ 來算上方便，算出：

\begin{gather*} 外心\ O=\left( c,\ \frac{a^{2} +b^{2} -ac}{b}\right)\\ 重心\ G=\left(\frac{2( a+c)}{3} ,\frac{2b}{3}\right)\\ 垂心\ H=\left( 2a,\ \frac{2a( c-a)}{b}\right)\\ \frac{|\overline{OG} |}{|\overline{GH|}} =\frac{1}{2}\\ \\ O,\ G,\ H\ 三點共線，其直線方程式為：\\ \left( 3a^{2} +b^{2} -3ac\right) x-( bc-2ab) y+\left( 2ac^{2} -2ab^{2} -2a^{3}\right) =0. \end{gather*}

若座標改做 $\displaystyle ( 0,0) ,\ ( c,0) ,\ ( a,b)$ 者：

\begin{gather*} 外心\ O=\left(\frac{c}{2} ,\ \frac{a^{2} +b^{2} -ac}{2b}\right)\\ 重心\ G=\left(\frac{a+c}{3} ,\ \frac{b}{3}\right)\\ 垂心\ H\ =\ \left( a,\ \frac{a( c-a)}{b}\right)\\ \\ O,\ G,\ H\ 三點共線个直線方程式是：\\ \overleftrightarrow{OGH} =\left( 3a^{2} +b^{2} -3ac\right) x-( bc-2ac) y+\left( ac^{2} -ab^{2} -a^{3}\right) =0.\\ 即條線叫做Euler線。\\以上个三角形袂使得是正三角形，因為正三角形四心共點，就連袂出一條直線。 \end{gather*}

欲證明三點共線[kāng-suànn]，有兩種方法，我先算出 $\displaystyle O,\ G$ 兩點所成个直線方程式，閣算出 $\displaystyle G,\ H$ 兩點所成个直線方程式，兩條方程式仝款，按呢三點就是共線。閣一種方法就是分別算出兩點之間个距離，總共三段距離，只要其中兩段距離加起來等於第三段，按呢三點的確是共線。（台語「的確[tik-khak]」是「必定」个意思。）

假使將三角形頂點座標設做 $\displaystyle ( x_{1} ,y_{1}) ,\ ( x_{2} ,y_{2}) ,\ ( x_{3} ,y_{3})$，按呢干焦用解析幾何法欲算出重心座標，我寫甲霧sà-sà，算袂出結果。總是，用傳統歐氏幾何畫出輔助線（兩邊个中點相連），先判斷出三中線交會佇各自个$\displaystyle {\textstyle \frac{2}{3}}$處，進一步用相似三角形對邊成比例个原理，就會使得出：

\begin{equation*} 三角形三頂點是\ ( x_{1} ,y_{1}) ,\ ( x_{2} ,y_{2}) ,\ ( x_{3} ,y_{3}) ，按呢重心就是： \\ \left(\frac{x_{1} +x_{2} +x_{3}}{3} ,\ \frac{y_{1} +y_{2} +y_{3}}{3}\right) 。 \end{equation*}

用即个一般性个重心公式翻頭去套用我頭前所設个方便座標，也會使證明頭前所列个重心座標有影。